Det er mange triste saker om dårlige turnusplaner i media. Her er et utvalg fra NRK:

• Tilsyn sjekker 13-timers vakter
• Nesten umulig å få en fulltidsstilling ved sykehus
• Sykepleiere må jobbe 44 lørdager i året: - Det er et overtramp
• Får ikkje tak i nok vikarar – jordmorforeninga fryktar kollaps i sommar
• Line (34) jobbet 60 timer forrige uke - må belage seg på doble skift i jula

Men det er også håp. I en artikkel fra sykepleien.no forteller Marita om hennes “matematiske turnus”. Hun fordeler ubekvemme vakter tilnærmet likt på sykepleierne ut fra stillingsprosent. Dette virker som en helt åpenbar og fornuftig tilnærming.

Vi kan ta Maritas idé enda lengre og faktisk bruke matematikk til å lage en turnusplan. I denne artikkelen lager vi fem matematiske optimeringsmodeller med økende kompleksitet og antall krav til turnusplanen.

Nok sykepleiere på jobb

Det første kravet er å ha nok folk på jobb. I vårt fiktive eksempel tar vi utgangspunkt i 22 sykepleiere og tre typer vakter: dagvakt, aftenvakt og nattevakt. Ifølge Norsk Sykepleierforbund har en sykepleier rett til å se turnusen senest 14 dager i forkant. Vi lager derfor en 28 dagers turnus for å være på den sikre siden. Grunnbemanningen vi ønsker å oppnå er 8 personer på dagvakt, 4 på aftenvakt og 2 på nattevakt. I helgene er det lavere bemanning.

Algoritmen bygger opp fra en tom turnusplan og evaluerer 100 000 forslag. Dette tar noen sekunder, og animasjonen nedenfor viser resultatet. Vi forsøker kun å dekke behovet for antall ansatte på jobb. Hver rad er en sykepleier og hver kolonne er en vakt. Tre kolonner utgjør et døgn, og det er totalt 28 døgn.

Vi oppnår perfekt dekning: vår bemanning matcher ønsket bemanning på hver eneste vakt.

Fylle opp stillingsprosenter

Vaktplanen ovenfor innfrir grunnbemanningen, men ignorerer stillingsprosentene. Av våre 22 sykepleiere skal 6 jobbe 100%, 11 jobbe 80% og 5 jobbe 60%. Fordelingen av antall timer er vist til venstre i figuren.

Vi skal nå forsøke å innfri to målsetninger samtidig:

• Det skal være nok sykepleiere på jobb hver dag.
• Over perioden på 28 dager skal hver sykepleier jobbe riktig antall vakter.

Disse to målsetningene er ofte i konflikt, og det er også tilfellet her. Det er umulig å både (1) alltid ha riktig antall folk på jobb og (2) innfri alle stillingsprosenter helt nøyaktig.

Disse konflikterende målene kan skape gnisninger i arbeidslivet, som da sykepleierne i Nesseby følte seg presset inn i en turnus med korte arbeidsdager og mange helgevakter. Hovedtillitsvalgt uttalte at det er “flere sykepleiere som ser etter andre jobber, og det blir vanskelig å rekruttere sykepleiere hit i en sånn type turnus”.

Gode turnuser er viktig for arbeidsmiljøet til sykepleierne og for samfunnet generelt. Matematikk kan ikke fjerne den iboende konflikten i målsetningene, men den kan finne beste trade-off. Med andre ord: om man må ofre stillingsprosentene noe, bør man kunne garantere at man ofrer minst mulig!

Friperioder mellom vakter

Ser vi nøye på turnusen ovenfor oppdager vi at den ikke er særlig god. Den har eksempelvis 48 doble vakter. Norsk Sykepleierforbund skriver om turnus at:

Det bør ikke være mindre enn 11 timer fri mellom arbeidsperiodene.

Dette har vi på ingen måte innfridd til nå. Det er ikke noe i vår matematiske modell som forhindrer doble vakter, eller tre vakter på rad for den saks skyld.

Vi kan modellere dette matematisk ved å straffe doble vakter og vakter med bare én friperiode på 8 timer mellom. Resultatene blir umiddelbart bedre:

Forrige turnus hadde 48 doble vakter og 54 vakter med bare én friperiode. Denne turnusen har null doble vakter og null vakter med bare én friperiode! Visuelt får vi mer “luft” i turnusen.

Færrest mulig nattevakter på rad

I en sak om helsefremmende turnuser fra sykepleien.no kan vi lese at et av kriteriene for en god turnus er:

Færrest mulig nattevakter på rad (maks to i uken og maks tre i en helg), og lengst mulig fri etter nattevakten.

Vi forenkler dette kravet litt og legger inn en straff for to nattevakter på rad.

Ovenfor er det null doble nattevakter, mens i forrige turnus var det 6 doble nattevakter.

Lik fordeling av antall aftenvakter og nattevakter

Til sist innfrir vi et av Maritas krav til en matematisk turnus. Hun sier at:

Vi har lagt vekt på å fordele de ubekvemme vaktene tilnærmet likt på alle, ut fra stillingsprosent. Det vil for eksempel si at alle med 100 prosent stilling har likt antall seinvakter og likt antall nattevakter.

Det er ikke enkelt å se i figuren, men ovenfor jobber en av sykepleierne 1 natt og en annen hele 5 netter, selv om de har samme stillingsprosent. Turnusen nedenfor forsøker å redusere forskjeller mellom sykepleierne, og resultatet er at det maksimalt er én nattevakt i forskjell mellom sykepleierne som har samme stillingsprosent.

Teller vi antall nattevakter for de 11 sykepleierne med 80% stilling får vi:

• Fordeling i forrige turnus: [1 1 2 2 3 3 3 3 4 5 5]
• Fordeling i denne turnusen: [2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3]

Denne turnusen er mye mer balansert. Dette gjelder for alle stillingsprosenter, og for både nattevakter og aftenvakter.

Oppsummert har turnusen ovenfor seks gode egenskaper

• Faktisk bemanning matcher perfekt med ønsket bemanning
• Sykepleierne jobber svært nær sin stillingsprosent
• Det er ingen doble vakter
• Alle vakter har minst to friperioder mellom seg
• Det er ingen doble nattevakter
• Nattevaktene og kveldsvaktene er jevnt fordelt

Det tar et par sekunder å finne en slik turnus på min laptop. Resultatene blir litt bedre om vi lar algoritmen kjøre lengre. En større turnus (flere sykepleiere, eller lengre enn 28 dager) vil kreve mer regnekraft.

Vi kunne ha fortsatt å legge til flere egenskaper. For eksempel kan vi fordele helgevaktene likt mellom sykepleierne. Det er også tenkelig at ulike sykepleiere har ulike ønsker. Noen misliker kanskje doble nattevakter, men andre synes det er greit. Enkelte foretrekker å jobbe kveldsvakter, andre dagvakter. Slike personlige preferanser kunne ha vært lagt til i modellen.

Oppsummering og referanser

Vaktplaner kan være en kilde til konflikt og frustrasjon, men problemstillingen er utrolig tilgivelig rent matematisk. Datastrukturene er enkle og grunnleggende algoritmer (her simulert størkning) gir gode resultater på få sekunder.

Målet var å undersøke noenlunde realistiske problemer med fiktive data. Det ville vært umulig å løse alle bemanningsproblemer med én modell. Praktisk turnusplanlegging varierer mellom ulike avdelinger innad i samme sykehus, mellom ulike sykehus, og mellom f.eks. et eldrehjem, en legevakt og et sykehus. Hver for seg kan disse problemstillingene løses med matematikk, men slike modeller må ofte spesialtilpasses.

Det har blitt skrevet forskningsartikler om matematisk optimering av sykepleieres vaktplaner siden 1960-tallet. Artikkelen The State of the Art of Nurse Rostering gir en oversikt. Det trengs neppe mer forskning, men heller at man i større grad tar kjente metoder i bruk.

En av de store fordelene med modeller er at de danner grunnlag for diskusjon. Hovedformålet er innsikt, ikke nødvendigvis et helt riktig svar. I praksis vil ofte en ekspert se over resultatene, gjøre endringer, og kjøre modellen flere ganger.

---

Her er en video som viser hvordan simulert størkning finner en løsning på et større problem: